Papers
Topics
Authors
Recent
Gemini 2.5 Flash
Gemini 2.5 Flash
144 tokens/sec
GPT-4o
7 tokens/sec
Gemini 2.5 Pro Pro
46 tokens/sec
o3 Pro
4 tokens/sec
GPT-4.1 Pro
38 tokens/sec
DeepSeek R1 via Azure Pro
28 tokens/sec
2000 character limit reached

Transition to anomalous dynamics in a simple random map (2308.09269v2)

Published 18 Aug 2023 in nlin.CD, cond-mat.stat-mech, and math.DS

Abstract: The famous Bernoulli shift (or dyadic transformation) is perhaps the simplest deterministic dynamical system exhibiting chaotic dynamics. It is a piecewise linear time-discrete map on the unit interval with a uniform slope larger than one, hence expanding, with a positive Lyapunov exponent and a uniform invariant density. If the slope is less than one the map becomes contracting, the Lyapunov exponent is negative, and the density trivially collapses onto a fixed point. Sampling from these two different types of maps at each time step by randomly selecting the expanding one with probability $p$, and the contracting one with probability $1-p$, gives a prototype of a random dynamical system. Here we calculate the invariant density of this simple random map, as well as its position autocorrelation function, analytically and numerically under variation of $p$. We find that the map exhibits a non-trivial transition from fully chaotic to completely regular dynamics by generating a long-time anomalous dynamics at a critical sampling probability $p_c$, defined by a zero Lyapunov exponent. This anomalous dynamics is characterised by an infinite invariant density, weak ergodicity breaking and power law correlation decay.

Definition Search Book Streamline Icon: https://streamlinehq.com
References (69)
  1. A. Katok and B. Hasselblatt, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Vol. 54 (Cambridge University Press, Cambridge, 1995).
  2. E. Ott, Chaos in Dynamical Systems (Cambridge University Press, Cambridge, 1993).
  3. N. van Kampen, Stochastic processes in physics and chemistry (North Holland, Amsterdam, 1992).
  4. C. Gardiner, Stochastic Methods: A Handbook for the Natural and Social Sciences, Springer Series in Synergetics (Springer, Berlin, 2009).
  5. C. Beck and F. Schlögl, Thermodynamics of Chaotic Systems, Cambridge nonlinear science series, Vol. 4 (Cambridge University Press, Cambridge, 1993).
  6. D. Evans and G. Morriss, Statistical mechanics of nonequilibrium liquids (Academic Press, London, 1990).
  7. J. Dorfman, An introduction to chaos in nonequilibrium statistical mechanics (Cambridge University Press, Cambridge, 1999).
  8. F. Reif, Fundamentals of statistical and thermal physics (McGraw-Hill, Auckland, 1965).
  9. L. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics (Wiley, New York, 2016).
  10. Y. Kifer, Ergodic theory of random transformations (Birkhäuser, Boston, 1986).
  11. T. Kapitaniak, Chaos in Systems with Noise (World Scientific, 1990).
  12. L. Arnold, Random Dynamical Systems, Monographs in Mathematics (Springer, Berlin, 1998).
  13. S. Ulam and J. von Neumann, Bull. Am. Math. Soc. 51, 660 (1945).
  14. G. Mayer-Kress and H. Haken, J. Stat. Phys. 26, 149 (1981).
  15. K. Matsumoto and I. Tsuda, J. Stat. Phys. 31, 87 (1983).
  16. K. Matsumoto, J. Stat. Phys. 34, 111 (1984).
  17. R. Klages, Phys. Rev. E 65, 055203(R)/1 (2002a).
  18. R. Klages, Europhys. Lett. 57, 796 (2002b).
  19. Y. Sato, T. S. Doan, J. S. W. Lamb,  and M. Rasmussen, “Dynamical characterization of stochastic bifurcations in a random logistic map,”  (2019), preprint arXiv:1811.03994.
  20. S. Pelikan, Trans. Am. Math. Soc. 281, 813 (1984).
  21. A. Lasota and M. C. Mackey, Physica D 28, 143 (1987).
  22. M. Blank, Mosc. Math. J. 1, 315 (2001).
  23. Y. Sato and R. Klages, Phys. Rev. Lett. 122, 174101 (2019).
  24. C. Maldonado and R. A. Pérez Otero, Chaos 31 (2021).
  25. C. Kalle and B. Zeegers, Nonlinearity 36, 3319 (2023).
  26. G. Hata and K. Yano, Stochastics and Dynamics 23, 2350006/1 (2023).
  27. I. Nisoli, J. Stat. Phys. 190, 22/1 (2023).
  28. K. K. Lin and L.-S. Young, Nonlinearity 21, 899 (2008).
  29. A. Pikovsky, Z. Phys. B 55, 149 (1984).
  30. H. Fujisaka and T. Yamada, Prog. Theor. Phys. 74, 918 (1985).
  31. H. Fujisaka and T. Yamada, Prog. Theor. Phys. 75, 1087 (1986).
  32. A. Pikovsky and P. Grassberger, J. Phys. A: Math. Gen. 24, 4587 (1991).
  33. A. Pikovsky, Phys. Lett. A 165, 33 (1992).
  34. E. Ott and J. Sommer, Phys. Lett. A 188, 39 (1994).
  35. H. Hata and S. Miyazaki, Phys. Rev. E 55, 5311 (1997).
  36. R. Metzler and J. Klafter, Phys. Rep. 339, 1 (2000).
  37. F. Höfling and T. Franosch, Rep. Prog. Phys. 76, 046602/1 (2013).
  38. G. Zaslavsky, Phys. Rep. 371, 461 (2002).
  39. T. Geisel and S. Thomae, Phys. Rev. Lett. 52, 1936 (1984).
  40. G. Zumofen and J. Klafter, Phys. Rev. E 47, 851 (1993).
  41. R. Artuso and G. Cristadoro, Phys. Rev. Lett. 90, 244101/1 (2003).
  42. E. Barkai, Phys. Rev. Lett. 90, 104101/1 (2003).
  43. G. Zaslavsky and D. Usikov, Weak chaos and quasi-regular patterns, Cambridge Nonlinear Science Series (Cambridge University Press, Cambridge, 2001).
  44. S. Galatolo, Nonlinearity 16, 1219 (2003).
  45. R. Klages, in From Hamiltonian Chaos to Complex Systems, edited by X. Leoncini and M. Leonetti (Springer, Berlin, 2013) pp. 3–42.
  46. J. Aaronson, An introduction to infinite ergodic theory, Mathematical Surveys and Monographs, Vol. 50 (American Mathematical Society, Providence, 1997).
  47. R. Zweimüller, “Surrey notes on infinite ergodic theory,”  (2009), unpublished.
  48. C. Kalle and M. Maggioni, Erg. Th. Dynam. Sys. 42, 141 (2022).
  49. A. Homburg and C. Kalle, “Iterated function systems of affine expanding and contracting maps on the unit interval,”  (2022), preprint arXiv:2207.09987.
  50. A. Homburg and V. Rabodonandrianandraina, Erg. Th. Dynam. Sys. 40, 1805–1842 (2020).
  51. Y. Pomeau and P. Manneville, Commun. Math. Phys. 74, 189 (1980).
  52. P. Manneville, J. Physique 41, 1235 (1980).
  53. P. Gaspard and X.-J. Wang, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 85, 4591 (1988).
  54. X. Wang, Phys. Rev. A 40, 6647 (1989).
  55. I. Melbourne and R. Zweimüller, Annales de l’Institut Henri Poincaré, Probabilités et Statistiques 51, 545 (2015).
  56. M. Thaler, Israel J. Math. 46, 67 (1983).
  57. M. Thaler, Israel J. Math. 37, 303 (1980).
  58. R. Zweimüller, Nonlinearity 11, 1263 (1998).
  59. M. Thaler, Studia Mathematica 143, 103 (2000).
  60. N. Korabel and E. Barkai, Phys. Rev. E 82, 016209 (2010).
  61. T. Akimoto and E. Barkai, Phys. Rev. E 87, 032915 (2013).
  62. J. Yan, Complex Behaviour in Coupled Oscillators, Coupled Map Lattices and Random Dynamical Systems, Ph.D. thesis, Queen Mary University of London (2021).
  63. A. Homburg,  (2023), private communication.
  64. C. Beck, Physica A 233, 419 (1996).
  65. J. Bouchaud, J. Phys. I 2, 1705 (1992).
  66. G. Bel and E. Barkai, Phys. Rev. Lett. 94, 240602/1 (2005).
  67. R. Metzler, Int. J. Mod. Phys. Conf. Ser. 36, 1560007 (2015).
  68. J. Yan and C. Beck, Chaos, Solitons & Fractals: X 5, 100035 (2020).
  69. M. Barnsley, Fractals everywhere, 2nd ed. (Academic Press, Boston, 1993).

Summary

We haven't generated a summary for this paper yet.

Ai Sparkles Streamline Icon: https://streamlinehq.com Summarize Now
X Twitter Logo Streamline Icon: https://streamlinehq.com

Tweets