La Méthode du Gradient Proximé (2503.14479v2)

Abstract: The proximal gradient method is a splitting algorithm for the minimization of the sum of two convex functions, one of which is smooth. It has applications in areas such as mechanics, inverse problems, machine learning, image reconstruction, variational inequalities, statistics, operations research, and optimal transportation. Its formalism encompasses a wide variety of numerical methods in optimization such as gradient descent, projected gradient, iterative thresholding, alternating projections, the constrained Landweber method, as well as various algorithms in statistics and sparse data analysis. This paper aims at providing an account of the main properties of the proximal gradient method and to discuss some of its applications. --- La m\'ethode du gradient proxim\'e est un algorithme d'\'eclatement pour la minimisation de la somme de deux fonctions convexes, dont l'une est lisse. Elle trouve des applications dans des domaines tels que la m\'ecanique, le traitement du signal, les probl`emes inverses, l'apprentissage automatique, la reconstruction d'images, les in\'equations variationnelles, les statistiques, la recherche op\'erationnelle et le transport optimal. Son formalisme englobe une grande vari\'et\'e de m\'ethodes num\'eriques en optimisation, telles que la descente de gradient, le gradient projet\'e, la m\'ethode de seuillage it\'eratif, la m\'ethode des projections altern\'ees, la m\'ethode de Landweber contrainte, ainsi que divers algorithmes en statistique et en analyse parcimonieuse de donn\'ees. Cette synth`ese vise `a donner un aper\c{c}u des principales propri\'et\'es de la m\'ethode du gradient proxim\'e et d'aborder certaines de ses applications.